Булева алгебра. Часть 1. Немного истории

48
420

Булева алгебраВ школе все мы изучали алгебру, только про булеву алгебру там не говорили. Чем отличается булева алгебра от школьной, история ее появления, задачи и области применения описаны в данной статье.

Схема, позволяющая двумя выключателями лампочку в коридоре включить при входе в коридор и выключить, войдя в комнату известна очень давно. Она показана на рисунке 1.

Задача №1. Более сложная. Составить схему, позволяющую включать и выключать свет в вашей комнате любым из 3 различных выключателей. Выключатели расположены у входа в комнату, над постелью и у письменного стола.

Задача № 2.

В спортивном комитете, например заводском, собралось 5 судей.

Каждый из них должен голосовать за принятие различных решений. Решение принимается большинством голосов, но только при том дополнительном условии, что за него голосует председатель комитета.

Судьи голосуют путем нажатия кнопки, замыкающей переключатель, расположенный под столом, за которым они сидят. Замыкая переключатель, они голосуют «за», размыкая «против». Начертите простейшую схему, позволяющую автоматически видеть результаты голосования. В простейшем случае просто с помощью лампочки, — зажглась – решение принято, не зажглась,- нет.

Задача №3. Практически такое маловероятно, но в качестве сложной учебной задачи вполне подойдет.

В большой шестиугольной комнате на каждой стене установлено по одному переключателю. Постройте такую схему, чтобы в любой момент можно было включать или выключать свет в комнате поворотом одного (любого) переключателя.

После того, как вы безрезультатно просидите над задачами три-четыре дня, отложите их временно в сторону. И займитесь алгеброй Буля. Именно алгебра Буля, или, как ее еще называют, булева алгебра, алгебра релейных схем, поможет вам решить составленные задачи.

Булева алгебра

Что же такое алгебра Буля?

Как ни странно, несмотря на то, что пять лет в школе изучают алгебру, многие ученики, а впоследствии и взрослые, не смогут ответить на вопрос, а что такое алгебра? Алгебра — это наука, которая изучает множества некоторых элементов и действия над ними.

В школьном курсе алгебры такими элементами являются числа. Числа можно обозначать не цифрами, а буквами, с этим все знакомы. На первых уроках алгебры это всегда затрудняет многих учеников. Вспомните, как трудно было вначале привыкнуть вместо цифр складывать буквы, решая ничего не говорящие уравнения.

Наверное, каждый из нас тогда задавал себе вопрос: «Для чего нужно вводить буквы вместо цифр и, нужно ли это вообще?». И только позднее вы убедились, какие преимущества при решении задач дает алгебра в сравнении с арифметикой.

Алгебра применяется во многих точных науках. Это физика, механика, сопромат, электричество. Закон Ома есть не что иное, как алгебраическое уравнение: достаточно вместо букв подставить их числовые значения, чтобы узнать какой ток будет протекать в нагрузке, или какое сопротивление имеет участок цепи.

Так вы познакомились с алгеброй чисел, или с элементарной алгеброй. Основная и почти единственная задача — получить ответ на вопрос: «Чему равняется X? Сколько?»

В старших классах школы изучают начала векторной алгебры. Эта алгебра принципиально отличается от элементарной алгебры. В ней совершено другая природа изучаемого множества и другие правила действий. Решая векторное уравнение, получаем в ответе вектор, который не является обычным числом, отвечающим на вопрос «Сколько?»

Формулы векторной алгебры во многом отличны от формул элементарной алгебры. Например, и в элементарной алгебре и в векторной имеется операция сложения. Но выполняется она совершенно по-разному. Сложение чисел выполняется совсем не так, как сложение векторов.

Существуют и другие алгебры: линейная алгебра, алгебра структур, алгебра колец, алгебра логики, или, что то же самое, алгебра Буля. На школьных уроках вы, наверное, не слышали имени Джорджа Буля — зато всем известно имя одной из его талантливых дочерей Этель Войнич (1864 – 1960). Она написала роман «Овод», где рассказывается о борьбе за свои права итальянских карбонариев.

Джордж БульДжордж Буль родился в Англии 2 ноября 1815 года. Всю свою жизнь он работал учителем математики и физики в школе. Из воспоминаний его учеников известно, какое огромное значение придавал Буль развитию творческих способностей учащихся. При изложении нового материала он стремился к тому, чтобы его ученики сами заново «открывали» некоторые формулы и законы.

Рассказывая ученикам о трудностях, с которыми ученые неизбежно сталкивались в поиске истины, учитель любил повторять одну восточную мудрость: даже персидский трон не может принести человеку столько наслаждений, как самое маленькое научное открытие. Буль никогда не терял надежды, что когда-нибудь и его ученики сделают настоящее открытие.

Диапазон научных интересов Буля был очень широк: в равной степени его интересовали математика и логика — наука о законах и формах мышления. В те времена логика считалась гуманитарной наукой, и многих, кто знал Джорджа Буля, удивляло, как в одном человеке могли уживаться точные методы познания, присущие математике, и чисто описательные методы логики.

Но ученому захотелось сделать науку о законах и формах мышления такой же строгой, как и любая из естественных наук, скажем математика и физика. Для этого Буль стал обозначать буквами не числа, как это делается в обычной алгебре, а высказывания и показал, что такими уравнениями, очень схожими с алгебраическими, можно решать вопросы об истинности и ложности высказываний, сделанных человеком. Так возникла алгебра Буля.

Но еще задолго до Джорджа Буля немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц (1646—1716) впервые высказал идею о создании науки, которая обозначит все понятия обычной разговорной речи символами и установит некоторую новую алгебру для соединения этих символов. После создания такой науки, по мнению Лейбница, ученые и философы перестанут спорить и перекрикивать друг друга, выясняя истину, а возьмут в руки карандаш и спокойно скажут: «Давайте-ка вычислять!»

Булева алгебраВ наши дни алгебра логики стала важнейшей составной частью математики. Одна из ее задач — это решение всевозможных уравнений, числовые соотношения в которых заменены буквенными. Каждый из вас, наверное, на всю свою жизнь запомнил, как решать уравнения второй и третьей степени с буквенными коэффициентами. Так вот, Буль в своей новой алгебре воспользовался всеми этими формулами и правилами.

Новым в алгебре Буля является то, что элементы множества, которые в ней изучаются, являются не числами, а высказываниями. Если при решении обычных алгебраических уравнений определяется, какому числу равняется неизвестное X, школьная алгебра ищет ответ на вопрос: «Сколько?»

Алгебра логики ищет ответ на вопрос: «Верно ли то или другое высказывание, обозначенное буквой X?»

Смысл и содержание высказывания здесь не играют никакой роли. Каждое высказывание может быть только или истинным, или ложным. Оно не может быть наполовину истинным и наполовину ложным. В качестве примера можно вспомнить метание жребия при помощи монеты.

Там рассматриваются только два состояния монеты — орел или решка. По договоренности сторон орел это ДА, а решка это НЕТ. Никакие другие промежуточные положения в теории вероятностей не учитываются, хотя они и возможны. Подброшенная монета может упасть на ребро, докатиться по полу до ножки стула или стола и так и остаться в вертикальном положении, а то и вообще провалиться в широкую щель в полу. (По аналогии с электрическими схемами две последних ситуации можно рассматривать как неисправность в виде обгоревшего контакта). Но в те далекие времена булева алгебра, увы, широкого распространения не получила.

Клод ШеннонВновь «открыл» алгебру Буля Клод Шеннон. В 1938 году, будучи еще студентом Массачусетского технологического института и Америке, молодой Клод доказал, что алгебра Буля полностью подходит для анализа и синтеза релейных и переключательных схем. С помощью алгебры Буля можно очень просто составить электрическую схему автомата, работающего на реле.

Для этого, оказывается, нужно только точно знать, что должен делать автомат, то есть нужно иметь алгоритм его работы. Так была заложена основа теории цифровых машин, действующих по принципу ДА или НЕТ.

Такова вкратце история булевой алгебры. В следующих статьях мы рассмотрим ее основные законы, примеры контактных схем реализующие эти законы. Рассмотрим решение тех задач, которые были приведены в начале статьи.

Борис, http://electrik.info/

48 КОММЕНТАРИИ

  1. Good ? I should definitely pronounce, impressed with your web site.
    I had no trouble navigating through all the tabs and related info ended up being truly
    simple to do to access. I recently found what I hoped for before
    you know it in the least. Reasonably unusual. Is likely to
    appreciate it for those who add forums or something, website theme .
    a tones way for your client to communicate.
    Excellent task.

    Here is my page http://www.fles.hlc.edu.tw/userinfo.php?uid=804891

  2. Hey there I am so delighted I found your weblog, I really found you by error, while I was browsing on Digg for something else,
    Nonetheless I am here now and would just like to say
    kudos for a fantastic post and a all round enjoyable blog (I
    also love the theme/design), I don’t have time to read through
    it all at the minute but I have book-marked it and also added your RSS feeds, so when I
    have time I will be back to read a lot more, Please do keep up the great work.

  3. I always used to read post in news papers but now as
    I am a user of net therefore from now I am using net for
    posts, thanks to web.

    Feel free to visit my website: kebe.top

  4. My spouse and I absolutely love your blog and find the majority of your post’s to be precisely what
    I’m looking for. can you offer guest writers to write content to suit
    your needs? I wouldn’t mind creating a post
    or elaborating on most of the subjects you write in relation to here.

    Again, awesome website!

    Also visit my web blog … chengdian.cc

  5. I like the valuable info you supply to your articles.
    I will bookmark your blog and test once more right here regularly.
    I’m relatively certain I’ll be told a lot of new
    stuff right right here! Best of luck for the next!

  6. I’m curious to find out what blog platform
    you happen to be utilizing? I’m having some small security problems with my latest blog and
    I’d like to find something more safeguarded. Do you have any solutions?

    Take a look at my homepage; http://vntong.com

  7. Awesome blog you have here but I was curious about if you knew of any community forums that cover the same topics discussed here?
    I’d really like to be a part of community where I can get advice
    from other experienced individuals that share the
    same interest. If you have any recommendations,
    please let me know. Many thanks!

    my blog — kebe.top

  8. Everything said made a bunch of sense. However, what about this?
    what if you added a little information? I mean, I don’t want to tell you how to run your website, but suppose you added
    a title to possibly get people’s attention? I mean Булева алгебра.
    Часть 1. Немного истории is kinda plain. You should look at Yahoo’s home page and watch
    how they create article titles to get viewers interested.
    You might add a related video or a picture or two to grab
    people excited about what you’ve written. In my opinion, it might bring your posts a little bit more interesting.

    Also visit my web site — http://usedtiresbrowardcounty.com/

  9. This is a topic that is close to my heart… Thank you! Exactly where are your contact details
    though?

    My web site download ok388 ios — Landon,

  10. Saya telah berselancar online lebih dari tiga jam hari ini, namun saya tidak pernah menemukan artikel menarik seperti milik Anda.
    It is cukup berharga bagi saya. Menurut pendapat saya ,
    jika semua webmaster dan blogger membuat konten yang
    baik seperti yang Anda lakukan, web akan menjadi lebih berguna dari sebelumnya.

    Also visit my website … Joker888 service

  11. Great beat ! I wish to apprentice while you amend your website,
    how could i subscribe for a blog web site? The account helped me a acceptable deal.
    I had been tiny bit acquainted of this your broadcast provided
    bright clear idea

  12. Write more, thats all I have to say. Literally, it seems as though you relied
    on the video to make your point. You obviously know what youre talking about,
    why waste your intelligence on just posting videos to your weblog when you could be giving us something enlightening to read?

    Here is my web blog chengdian.cc

  13. My wife and i got more than happy that Emmanuel managed to finish up his research via
    the ideas he got using your blog. It is now and again perplexing
    to just happen to be handing out secrets that many many
    others may have been making money from. And we do know we have the writer to be grateful to for this.
    These explanations you made, the straightforward blog navigation, the relationships you
    can give support to create — it’s got mostly amazing, and it’s really
    helping our son in addition to the family know that that article
    is exciting, which is certainly exceptionally mandatory.
    Thanks for all the pieces!

    Also visit my web blog — aniene.net

  14. I’ve been exploring for a bit for any high-quality
    articles or blog posts on this sort of house . Exploring in Yahoo I finally
    stumbled upon this site. Studying this information So i’m happy to
    express that I’ve a very just right uncanny feeling I found out exactly what I
    needed. I so much no doubt will make certain to don’t fail to remember this website and provides it a glance regularly.

    Also visit my blog post; https://lovegamematch.com/blog/906028/4-factors-to-check-to-look-for-best-cannabis-seeds/

  15. We wish to thank you again for the beautiful ideas you offered Jesse when preparing a post-graduate research and, most importantly, pertaining to
    providing each of the ideas in a blog post.
    In case we had known of your web page a year ago, i’d have been rescued from the nonessential measures we were implementing.
    Thanks to you.

    Here is my site Russ

  16. I really love your website.. Excellent colors & theme. Did you develop this website yourself?
    Please reply back as I?m hoping to create my own site and want to
    learn where you got this from or just what the
    theme is called. Appreciate it!

    my blog: showhorsegallery.com

  17. Oh my goodness! Awesome article dude! Thanks, However I am experiencing troubles with your
    RSS. I don?t understand the reason why I cannot join it. Is there
    anyone else getting similar RSS issues? Anybody who knows the solution will you kindly respond?
    Thanx!!

    my blog … kebe.top

  18. Hey would you mind letting me know which hosting company you’re utilizing?

    I’ve loaded your blog in 3 different internet browsers and I
    must say this blog loads a lot quicker then most. Can you suggest a good
    web hosting provider at a reasonable price? Thanks, I appreciate it!

    Feel free to surf to my web blog; http://www.atomy123.com

  19. Great ? I should certainly pronounce, impressed with your site.
    I had no trouble navigating through all tabs as well as related info ended up being truly
    simple to do to access. I recently found what I hoped for before you know it at all.
    Quite unusual. Is likely to appreciate it for those who
    add forums or anything, site theme . a tones way for
    your customer to communicate. Excellent task.

    My site :: http://shihan.com.ru/modules.php?name=Your_Account&op=userinfo&username=HaroNina

  20. Thanks for your personal marvelous posting! I really enjoyed reading it,
    you may be a great author. I will make sure to bookmark your blog and will come back later in life.
    I want to encourage you continue your great writing,
    have a nice evening!

    Feel free to visit my web blog :: Christi

  21. Thank you for any other great article. Where else could anyone get that type of information in such an ideal manner of writing?
    I’ve a presentation next week, and I’m on the search for
    such information.

    Here is my blog — kebe.top

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Пожалуйста, введите ваш комментарий!
пожалуйста, введите ваше имя здесь